KUARTIL
Istilah kuartil dalam kehidupan kita sehari-hari lebih dikenal dengan istilah kuartal.
Dalam dunia statistik, yang dimaksud dengan kuartil ialah titik atau skor atau nilai yang membagi seluruh distribusi frekuensi ke dalam empat bagian yang sama besar, yaitu masing masing sebesar ¼ N. jadi disini akan kita jumpai tiga buah kuartil, yaitu kuartil pertama (Q1), kuartil kedua (Q2), dan kuartil ketiga (Q3). Ketiga kuartil inilah yang membagi seluruh distribusi frekuensi dari data yang kita selidiki menjadi empat bagian yang sama besar, masing-masing sebesar ¼ N, seperti terlihat dibawah ini
Jalan pikiran serta metode yang digunakan adalah sebagaimana yang telah kita lakukan pada saat kita menghitung median. Hanya saja, kalau median membagi seluruh distribusi data menjadi dua bagian yang sama besar, maka kuartil membagiseluruh distribusi data menjadi empat bagian yang sama besar.
Jika kita perhatikan pada kurva tadi, maka dapat ditarik pengertian bahwa Q2 adalah sama dengan Median(2/4 N=1/2 N).
Untuk mencari Q1,Q2 dan Q3 digunakan rumus sebagai berikut:
v untuk data tunggal
Qn = 1 + ( n/4N-fkb)
fi
v untuk data kelompok
Qn = 1 + (n/4N-fkb)x i
Fi
Qn = kuartil yang ke-n. karena titik kuartil ada tiga buah, maka n dapat diisi dengan bilangan: 1,2, dan 3.
1 = lower limit ( batas bawah nyata dari skor atau interval yang mengandung Qn).
N= Number of cases.
Fkb= frekuensi kumulatif yang terletak dibawah skor atau interval yang mengandung Qn.
Fi= frekuensi aslinya (yaitu frekuensi dari skor atau interval yang mengandung Qn).
i= interval class atau kelas interval.
Catatan: – istilah skor berlaku untuk data tunggal.
– istilah interval berlaku untuk data kelompok.
Berikut ini akan dikemukakan masing-masing sebuah contoh perhitungan kuartil ke-1, ke-2, dan ke-3 untuk data yang tunggal dan kelompok.
1). Contoh perhitungan kuartil untuk data tunggal
Misalkan dari 60 orang siswa MAN Jurusan IPA diperoleh nilai hasil EBTA bidang studi Fisika sebagaimana tertera pada table distribusi frekuensi berikut ini. Jika kita ingin mencari Q1, Q2, dan Q3 (artinya data tersebut akan kita bagi dalam empat bagian yang sama besar), maka proses perhitungannya adalah sebagai berikut:
Table 3.11. Distribusi frekuensi nilai hasil Ebta dalam bidang studi fisika dari 60 orang siswa MAN jurusan ipa, dan perhitungan Q1, Q2, dan Q3.
| Nilai (x) | F | Fkb |
|
46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 |
2 2 3 5 F1 (8) 10 F1 (12) F1 (6) 5 4 2 1 |
60= N 58 56 53 48 40 30 18 12 7 3 1 |
Ø Titik Q1= 1/4N = ¼ X 60 = 15 ( terletak pada skor 39). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 38,50; fi = 6; fkb = 12
Q1 = 1 + ( n/4N-fkb) = 38,50 +(15-12)
Fi 6
= 38,50 +0,50
= 39
Ø Titik Q2= 2/4N = 2/4 X 60 = 30 ( terletak pada skor 40). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 39,50; fi = 12; fkb = 18
Q2 = 1 + ( n/4N-fkb) = 39,50 +(30-18)
Fi 12
= 39,50 +1,0
= 40,50
Ø Titik Q3= 3/4N = 3/4 X 60 = 45 ( terletak pada skor 42). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 41,50; fi = 8; fkb = 40
Q3 = 1 + ( n/4N-fkb) = 41,50 +(45-40)
Fi 8
= 41,50+ 0,625
= 42,125
2). Contoh perhitungan kuartil untuk data kelompok
Misalkan dari 80 orang siswa MAN jurusan IPS diperoleh skor hasil EBTA dalam bidan studi tata buku sebagaimana disajikan pada tabel distribusi frekuensi beikut ini ( lihat kolom 1 dan 2). Jika kita ingin mencari Q1, Q2, dan Q3, maka proses perhitungannya adalah sebagai berikut:
Ø Titik Q1= 1/4N = ¼ X 80 = 20 ( terletak pada interval 35-39). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 34,50; fi = 7; fkb = 13, i= 5.
Q1 = 1 + ( n/4N-fkb) Xi = 34,50 +(20-13) X5
Fi 7
= 34,50 +5
= 39,50
Ø Titik Q2= 2/4N = 2/4 X 80 = 40 ( terletak pada interval 45-49). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 44,50; fi = 17; fkb = 35, i= 5.
Q1 = 1 + ( n/4N-fkb) Xi = 44,50 +(40-35) X5
Fi 17
= 44,50 +1.47
= 45,97
Ø Titik Q3= 3/4N = 3/4 X 80 = 60 ( terletak pada interval 55-59). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 54,50; fi = 7; fkb = 59, i= 5.
Q1 = 1 + ( n/4N-fkb) Xi = 54,50 +(55-59) X5
Fi 7
= 54,50 + 0,71
= 55,21
Tabel 3.12. distribusi frekuensi skor-skor hasil EBTA bidang studi tata buku dari 80 orang siswa man jurusan ips, berikut perhitungan Q1,Q2, dan Q3.
|
Nilai (x) |
F |
Fkb |
|
70-74 65-69 60-64 55-59 50-54 45-49 40-44 35-39 30-34 25-29 20-24 |
3 5 6 7 7 17 15 7 6 5 2 |
80 77 72 66 59 52 35 20 13 7 2 |
| Total | 80= N | – |
Diantara kegunaan kuartil adalah untuk mengetahui simetris (normal) atau a simetrisnya suatu kurva. Dalam hal ini patokan yang kita gunakan adalah sebagai berikut:
1). Jika Q3-Q2 = Q2- Q1 maka kurvanya adalah kurva normal.
2). Jika Q3-Q2 > Q2- Q1 maka kurvanya adalah kurva miring/ berat ke kiri(juling positif).
3). Jika Q3-Q2 < Q2- Q1 maka kurvanya adalah kurva miring/ berat ke kanan(juling negatif).
Rata-Rata Ukur (Geometric Mean)
Untuk gugus data positif x1, x2, …, xn, rata-rata geometrik adalah akar ke-n dari hasil perkalian unsur-unsur datanya. Secara matematis dapat dinyatakan dengan formula berikut:
Keterangan:
U = rata-rata ukur (rata-rata geometrik)
n = banyaknya sampel
Π = Huruf kapital π (pi) yang menyatakan jumlah dari hasil kali unsur-unsur data.
Rata-rata geometrik sering digunakan dalam bisnis dan ekonomi untuk menghitung rata-rata tingkat perubahan, rata-rata tingkat pertumbuhan, atau rasio rata-rata untuk data berurutan tetap atau hampir tetap atau untuk rata-rata kenaikan dalam bentuk persentase.
Rata-rata ukur untuk data tunggal
Contoh 1:
Berapakah rata-rata ukur dari data 2, 4, 8?
Jawab:
atau:
b. Distribusi Frekuensi:
xi = tanda kelas (nilai tengah)
fi = frekuensi yang sesuai dengan xi
Contoh 2:
Tentukan rata-rata ukur dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 di atas!
Jawab:
| Kelas ke- | Nilai Ujian | fi | xi | log xi | fi.log xi |
| 1 | 31 – 40 | 2 | 35.5 | 1.5502 | 3.1005 |
| 2 | 41 – 50 | 3 | 45.5 | 1.6580 | 4.9740 |
| 3 | 51 – 60 | 5 | 55.5 | 1.7443 | 8.7215 |
| 4 | 61 – 70 | 13 | 65.5 | 1.8162 | 23.6111 |
| 5 | 71 – 80 | 24 | 75.5 | 1.8779 | 45.0707 |
| 6 | 81 – 90 | 21 | 85.5 | 1.9320 | 40.5713 |
| 7 | 91 – 100 | 12 | 95.5 | 1.9800 | 23.7600 |
| 8 | Jumlah | 80 | 149.8091 |
Rata-Rata Harmonik
Rata-rata harmonik dari suatu kumpulan data x1, x2, …, xn adalah kebalikan dari nilai rata-rata hitung (aritmetik mean). Secara matematis dapat dinyatakan dengan formula berikut:
Secara umum, rata-rata harmonic jarang digunakan. Rata-rata ini hanya digunakan untuk data yang bersifat khusus. Misalnya,rata-rata harmonik sering digunakan sebagai ukuran tendensi sentral untuk kumpulan data yang menunjukkan adanya laju perubahan, seperti kecepatan.
a. Rata-rata harmonic untuk data tunggal
Contoh 1:Si A bepergian pulang pergi. Waktu pergi ia mengendarai kendaraan dengan kecepatan 10 km/jam, sedangkan waktu kembalinya 20 km/jam. Berapakah rata-rata kecepatan pulang pergi?
Jawab:Apabila kita menghitungnya dengan menggunakan rumus jarak dan kecepatan, tentu hasilnya 13.5 km/jam!
Apabila kita gunakan perhitungan rata-rata hitung, hasilnya tidak tepat!
Pada kasus ini, lebih tepat menggunakan rata-rata harmonik:
b. Rata-rata Harmonik untuk Distribusi Frekuensi:
Contoh 2:
Berapa rata-rata Harmonik dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 pada Tendensi Sentral: Mean!
Jawab:
| Kelas ke- | Nilai Ujian | fi | xi | fi/xi |
| 1 | 31 – 40 | 2 | 35.5 | 0.0563 |
| 2 | 41 – 50 | 3 | 45.5 | 0.0659 |
| 3 | 51 – 60 | 5 | 55.5 | 0.0901 |
| 4 | 61 – 70 | 13 | 65.5 | 0.1985 |
| 5 | 71 – 80 | 24 | 75.5 | 0.3179 |
| 6 | 81 – 90 | 21 | 85.5 | 0.2456 |
| 7 | 91 – 100 | 12 | 95.5 | 0.1257 |
| 8 | Jumlah | 80 | 1.1000 |
nidannss 